Após logar no WebMail, acesse "Minha Conta", seguido da opção "Folders Size", conforme telas abaixo.

O tamanho de cada pasta está em Megabytes. Para gigabytes, divida por 1024.

No caso do programa de e-mail Thunderbird, veja o seguinte link (em inglês): https://support.mozilla.org/en-US/questions/1201896