Veja um exemplo de conexão a banco sem DSN:

<%

Set cnnDB = Server.CreateObject("ADODB.Connection")
cnnDB.ConnectionString = "driver=MySQL;server=mysql.seudominio.com.br;uid=usuario;pwd=senha;database=banco_de_dados"
cnnDB.Open

%>

Não esqueça de trocar o hostname, mysql.seudominio.com.br, substituindo seudominio.com.br pelo seu domínio.

Veja exemplo de conexão ODBC, sendo necessário solicitar configuração do mesmo.

<%
'Conectar ao banco de dados MySQL
Set Sua_Conexao = Server.CreateObject("ADODB.Connection")
Sua_Conexao.Open = "Driver=MySQL ODBC 5.2 ANSI Driver; database=BASE; server=HOST; uid=USUARIO; password=SENHA"
Response.Write "<center><b>Conectado com sucesso ao banco de dados</center>"
%>