Não consigo apagar emails para limpar minha caixa, quando ela está cheia.

Isso ocorre devido à falta de espaço para mover e-mails apagados para dentro da sua lixeira.

Ressaltando, veja com o administrador da sua conta, se não consegue aumentar o espaço da mesma através do nosso painel de administração de e-mails, o que costuma ser mais prático.

No Webmail Group-Office, após clicar na opção "E-mails", ao topo, para visualizar seus e-mails, clique nos 3 pontinhos verticais, logo acima da listagem de e-mails e clique em "Contas". 

Veja:

Dê um duplo clique na sua conta, que será exibida, conforme tela abaixo.

Logo na primeira aba, clique no "X", ao lado da lixeira, para desativá-la e clique em "OK", ao final da tela.

Depois de apagar emails desejados sem passar pela lixeira, reative a lixeira, escolhendo "Trash" (por padrão, usamos nomes em inglês, mas aparecem traduzidos na "interface" do WebMail) como pasta-base para a lixeira.

Note também que contas básicas podem ter até 50 GB de tamanho (limite também do Outlook) e contas Sync, 200 GB. Caso o tamanho da sua conta tenha sido alcançado, a solução mais popular entre nossos clientes e com menor custo x benefício é mover emails mais antigos que x dias, de uma conta para outra, usufruindo assim do nosso baixo custo por conta.

Veja detalhes em:

https://suporte.lucanet.com.br/kb/outros/como-mover-emails-mais-antigos-que-x-dias-de-uma-conta-para-outra